Полная версия

Главная arrow Педагогика arrow Высшая математика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

Функции нескольких переменных. Область определения.

Предел. Непрерывность.

Функцией двух перемен называется правило, по которому каждой паре действительных чисел (х, у) Д, соответствует одно определенное действительное значение переменной .

При этом х и у называются независимыми переменными (или аргументами), z - зависимой переменной (или функций), а множество Д - область определения, а Е - множество значений функции. Записываются: z= =f (x; y).

Графиком функции двух переменных z=f (x; y) в прямоугольной системе координат в пространстве является некоторая поверхность.

Аналогично определяется функция любого числа переменных x= f (x, y, z,.,t).

Окрестностью точки P0 (x0; y0) Расм

называется внутренность круга с

центром в этой точке. Если радиус

круга равен , то говорят

- окрестность точки. Очевидно,

что любая точка P (x; y), принадлежащая

- окрестность точки P0 (x0; y0), находится

от этой точке на расстоянии меньшим .

Определение. Число А называется пределом функции двух переменных z=f (x; y) = f (P) при РР0, если для любого числа Е0 найдется такая - окрестность точки P0 (x0; y0), что для любой точки P (x; y) этой окрестности (за исключением, быть может, точки P0) имеет место неравенство

Е или Е,

Записывают или

Функция двух переменных называется бесконечно малой при РР0, если ее предел равен нулю, то есть . Определение. Функция двух переменных z=f (x; y) = f (P) называется непрерывной в точке Р0, если она определена в этой точки и ее окрестность и

или .

Точка Р0 называется точкой непрерывности этой функции.

Если в точке Р0 функция неопределена, или то Р0 называется точкой разрыва.

Производные и дифференциалы функции нескольких переменных.

Для функции двух переменных z=f (x,y) зафиксируем у, положив у=у0. разность называется частным по х функции z=f (x,y) в точке P0 (x0y0), а если зафиксировать х положив х=х0, то разность называется частным приращением по у для этой функции в точке P0 (x0y0).

Определение. Частной производной от функции z=f (x,y) по независимой переменной х называется производная

Частной производной по у называется производная

;

При вычисления частных производных применяются правило и формулы дифференцирования, справедливые для дифференцирования функции одного переменного. Во всех этих правилах и формулах при нахождении частной производной по какому-либо аргументу все остальные аргументы считаются постоянными.

Пример. Найти частных производные функции z=f (x,y) = х23-3ху+5

Решение.

Полным приращением функции z=f (x,y) в точке P0 (x0; y0) называется разность где Дх и Ду приращения аргументов функции. Функции z=f (x,y) называется дифференцируемой в точке P (x; y), если в этой точке полное приращение, представило в виде

(1)

где Дх и Ду приращение аргументов х и у в некоторой точке P (x; y), А и В постоянные, независящие от Дх и Ду, - бесконечно малая более высокого порядка, чем расстояния между точками P (x; y) и то есть

Определение. Главная часть приращения функции t=f (x,y) линейно относительно Дх и Ду, называется полным дифференциалом этой функции и обозначается dz.

Из определения имеем (2) Величины А и В не зависят от Дх и Ду, но зависят от точки P (x; y), в которой этот дифференциал рассматривается, то есть является функцией от х и у.

Теорема. Если функция z=f (x,y) в точке P (x,y) дифференцируемо, то она имеет в точке первые частые производные и причем,

Дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращением, то есть . (3)

На основании теоремы (2) и (3), получаем формулу для вычисления полного дифференциала:

Аналогично определяется частные производные первого порядка и полный дифференциал функции трех переменных.

Частные производные функции нескольких переменных являются функциями тех же переменных. Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка.

Функции двух переменных z=f (x,y) имеет четыре частных производных второго порядка

Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего и более высокого порядка.

Частная производная второго порядка и более высокого порядка, взятая по нескольким различным переменным, называется смешенной частной производной:

и т.д.

Теорема. Две смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся друг от друга лишь последовательностью дифференцирования, равны между собой, если они непрерывны.

Таким образом: и т.д.

Дифференциалом второго порядка от функции z=f (x,y) называется дифференциал от ее полного дифференциала, то есть: d2z = d (dz).

В общем случае: dnz = d (dn-1z).

Полный дифференциал второго порядка вычисляется по формуле:

вообще имеет место символическая формула:

Пример. Найти частные производные второго порядка функции z=3cos (x2+y2).

Решение. Для функции двух переменных z=f (x,y) могут быть указаны четыре частные производные второго порядка, а именно:

Находим эти частные производные:

Экстремум функции двух переменных.

Пусть функция двух переменных z=f (x,y) задано в некоторой области D.

Определение. Функция двух переменных z=f (x,y) =f (Р0) имеет в точке P0 (x0; y0) из области D максимум (минимум), если существует токая окрестность этой точки, что для всех точки P (x,y) из этой окрестности, отличных от точки P0 выполняется неравенство.

f (P0) f (P) (f (P0) f (P)).

Точка P0, в которой z=f (Р) имеет максимум (или минимум) называется точкой максимума (или минимума). Общее название для максимума и минимума - экстремум.

Теорема 1 (необходимый признак существования экстремума). Если P0 (x0; y0) есть точка экстремума функции z=f (x,y), то в предложением, что указанные производные существуют в этой точке P0 (x0; y0).

Точки из области определения функции двух переменных, в которых первые частные производные равны нулю, или не существуют, называется критическими точками этой функции.

Из теоремы 1 следует, что точки экстремума функции искать среди ее критических точек. Однако не всякая критическая точка будет являться точкой экстремума, т.е. теорема 1 не является достаточным признаком.

Теорема. Пусть

и

тогда, если:

1) то f (x0,y0) =zmax при А ,

f (x0,y0) =zmin при А

  • 2) то экстремума нет в критической точке P0 (x0; y0)
  • 3) = то экстремума может быть, а может и не быть (сомнительной случай).

Пример. Найти экстремумы функции z = 2x3-xy2+5x2+y2.

Решение. Находим первые частные производные z = 6x2-y2+10x, z =-2xy+zy. Приравнивая эти производные нулю, после элементарных преобразования приходим к системе уравнений:

Р1 (0; 0), Р2 (), Р3 (1;4) и Р (1; - 4).

Теперь найдем второе частные производные.

1) Р1 (0; 0).

А = 10, В = 0, С = 2.

= АС - В2 = 20 0, А = 10 0. Р0 (0; 0) - точка минимума, а zmin = 0.

2) Р2 ()

А = 12В=0

С = - 2 , 0,

в точке Р2 экстремум нет.

3) Р3 (1;4)

А = 12 + 10 = 22, В = - 8, С = - 2.1 + 2 = 0

= АС - В2 = 22.0 - ( - 8) 2 = - 64 0, в точке Р3 экстремум нет.

4) Р4 (1; - 4)

А = 12 +10 = 22, В = 8, С = - 2 + 2 = 0

= АС - В2 = - 64 0, в точке Р4 экстремум нет.

Итак, данная функция имеет экстремум в точке P1 (0; 0) - минимум

f (P1) = 0.

 
Перейти к загрузке файла
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>