Полная версия

Главная arrow Педагогика arrow Высшая математика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

Несобственные интегралы.

I - род, это интегралы с бесконечными пределами.

II - род, подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв.

,

Приложения определенного интеграла.

вокруг оси ОУ

в) Вычисление длины дуги плоской кривой.

Если

Если

Если

Вычислить неопределенные интегралы.

а)

К подынтегральной функции применим формулу .

Следовательно, имеем

.

Чтобы вычислить интеграл , применим формулу интегрирования по частям. Положим u=x, dv=cosxdx, тогда du=dx . Отсюда

Таким образом,

.

Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена 9+6x-3x2 =-3 (x2 - 2x-3) и вводим новую перемен t = x-1, тогда получим: dx = dt и

.

Первый интеграл преобразуем к табличному, умножая и деля на - 2 и заменяя - 2 tdt через d (u - t2), а второй табличный, следовательно:

Возвращаясь к переменной х, имеем

Выделим из подынтегральной неправильной дроби целую часть, деля числитель на знаменатель:

2x5+6x3+1 x4+3x2

2x5+6x3 2x

1

В интеграле подынтегральную функцию представляем в виде суммы элементарных дробей следующим образом:

Для определения коэффициентов А, В, С, Д применим метод сравнения коэффициентов при одинаковых степенях "х".

1= Aх (x2+3) +B (x2+3) + (CX+D) x2 = (A+C) x3+ (B+D) x2+3Aх+3B.

x5 A+C =0,C =0,x4B+D =0,D = - ,

x13A =0,A =0,x03B =1B =.

Следовательно:

Подставляя под интеграл и интегрируя элементарных дроби, получим:

г)

Подынтегральная функция зависит от sinx и cosx, применим подстановку

tg тогда

и

Возвращаясь к старой переменной, получим

.

Чтобы вычислить данный интеграл, найдём S= HOK (2;

  • 3) =6, значить
  • 1+x =t6, тогда dx = 6t5 dt и

Вычислить несобственные интегралы.

а)

Найдем

=

= т.е.

несобственный интеграл сходится.

б)

Здесь подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв точке x=1, лежащей внутри интегрирования [-1; 2]. Поэтому, согласно определения

Несобственный интеграл сходится.

Вычислить площадь фигуры ограниченной кривой.

и прямыми y=0, x=0,

Площадь фигуры будем вычислять по формуле:

где y1=0. Имеем

кв. ед.

2.4 Вычислить объём фигуры, образованной вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной кривой y2= (x-1) 3 и прямой x=2.

Объём фигуры найдем по формуле

(куб. ед.)

Вычислить длину дуги кривой.

Так как уравнение кривой задано в параметрическом виде, длину её дуги будем искать по формуле

Найдем производные по параметру t:

Следовательно

 
Перейти к загрузке файла
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>