Главная Математика, химия, физика
Дослідження якнайкращих наближень безперервних періодичних функцій тригонометричними поліномами
|
|
|||||
Основна теоремаЗвернемося тепер до розгляду наступного питання: які необхідні і достатні умови того, щоб ![]() де -задана незростаюча функція? ![]() ![]() Наскільки нам відомо, це завдання не було до цих пір вирішене навіть для випадку . Ми вирішимо її для функцій порівняння . ![]() Лема 11. Хай і для деякого натурального (7.1) Тоді існує така константа с>0, що ![]() (7.2) Доказ. Згідно (7.1), знайдуться дві такі константи С60>0 і C61>0, що ![]() (7.3) Останнє з цих нерівностей, теорема 1 і теорема 3 ваблять нерівність ![]() (7.4) В силу і (2.2), маємо ![]() Звідси ![]() Користуючись (7.3) і (7.4), знаходимо, далі ![]() (7.5) ![]() Пригадаємо тепер, що . Це дає нам для ![]() ![]() Підставляючи цю оцінку в (7.5), отримуємо ![]() (7.6) Ми можемо без обмеження спільності вважати, що тут . Покладемо в (7.6) ![]() Тоді отримаємо остаточно ![]() і лема доведена. Основна теорема. Хай . Для того, щоб ![]() ![]() (7.7) необхідно, щоб для всіх натуральних і достатньо, щоб для деякого натурального . (7.8) Доказ. Хай має місце (7.7), тобто знайдуться дві позитивні константи С67 і С68, для яких ![]() (7.9) Тоді, по теоремі 1 і через першу половину нерівності (7.9), для будь-якого до маємо ![]() тобто ![]() Звідси, в силу _ ![]() ![]() ![]() і якщо то, зважаючи на монотонність і _ ![]() Далі, з другої половини нерівності (7.9) і теореми 9 витікає існування константи С72 такий, що для будь-якого Цим закінчується доказ необхідності умови (7.8). Хай має місце (7.8): ![]() (7.10) з С73>0. Тоді по теоремі 1 і через другу половину нерівності (6.10) ![]() а по лемі 11 ![]() де С77>0. Таким чином, встановлена достатність умови (7.8), і основна теорема повністю доведена. Приведемо на закінчення узагальнення леми 11 на той випадок, коли оцінки зверху і знизу мають різні порядки. Теорема 12. Хай і ![]() (7.11) Тоді ![]() (7.12) Доказ. Маємо, як при доказі леми 11 ![]() Покладемо тут ![]() Тоді отримаємо, що Теорема доведена. |
<< | СОДЕРЖАНИЕ | >> |
---|