Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Дослідження якнайкращих наближень безперервних періодичних функцій тригонометричними поліномами

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

Вступ

Дипломна робота присвячена дослідженню якнайкращих наближень безперервних періодичних функцій тригонометричними поліномами. У ній даються необхідні і достатні умови для того, щоб якнайкращі наближення мали заданий (статечною) порядок убування.

Дипломна робота носить реферативний характер і складається з “Введення” і восьми параграфів.

У справжній роботі ми розглядаємо наступні завдання:

При яких обмеженнях на безперервну функцію F(u) (-1 Ј u Ј +1) її якнайкращі наближення En [F;-1,+1] звичайними многочленами мають заданий порядок j (n-1 )?

При яких обмеженнях на безперервну періодичну функцію f (x) її якнайкраще наближення En[f] тригонометричними поліномами мають заданий порядок j (n-1 )?

Підстановка u=cos(x) зводить завдання 1 до завдання 2. Достатньо, отже, розглядати лише завдання 2.

Ми обмежимося випадком, коли j(d) О N а, для деякого а, де j(d) - функція порівняння р-го порядку і для 0< d<h Ј p

С.Н. Бернштейн, Д. Джексон і Ш. Валле-пуссен отримали залежності між оцінками зверху для En[f] і диференціальних властивостей f. Деякі доповнення до їх теорем доведені А.Зігмундом. нас чекає, тому, отримати залежності між диференціальними властивостями f і оцінками En[f] знизу. Вперше завданнями типу 1 займався С.Н. Бернштейн. А саме, їм отримана ассимптотическое рівність:

,

де m - деяке число.

Наша основна теорема формулюється таким чином:

Хай j О N а. Для того, щоб

необхідно, щоб для будь-якого натурального k>a, і достатньо, щоб для деякого натурального k>a

де

Викладемо тепер стисло зміст кожного з параграфів роботи.

У §1 дається ряд допоміжних визначень, які знадобляться в подальшій роботі.

У §2 виводяться основні властивості модулів безперервності вищих порядків. Майже всі ці властивості використовуються в подальшому тексті.

§3 присвячений узагальненню теореми Джексона. Як відомо, Джексон довів наступну теорему: якщо f має безперервну r-ую похідну f (r), то

Таким чином, теорема Джексона дає оцінку зверху для якнайкращих наближень, якщо відомі диференціальні властивості функції, що апроксимується.

У 1947 р. з'явилася робота С.Н. Бернштейна [1]. Одна з теорем цієї роботи містить як слідство таку пропозицію: хай

Тоді

У §3 доводимо:

(*)

У §4 формулюється доведене в роботі С.Б. Стечкина [2] узагальнення відомої нерівності С.Н. Бернштейна [3], [4] для похідних від тригонометричного полінома. Ми приводимо потім ряд следствий з нашої нерівності (*). Вони грають істотну роль при доказі теорем §5.

У §5 розглядається наступне завдання. Хай тригонометричний поліном tn, близький в рівномірній метриці до заданої функції f або послідовність поліномів {tn} досить добре апроксимує задану функцію f. Як зв'язані тоді диференціальні властивості f з диференціальними властивостями tn?

Якщо tn, утворюється з f за допомогою регулярного методу підсумовування рядів Фурье, то відповідь тривіальна: для того, щоб необхідно і достатньо, щоб рівномірно відносно n. (fОHk[w], якщо ).

Виявляється, що цей результат зберігається і для поліномів якнайкращого наближення: для того, щоб рівномірно відносно n.Відзначимо ще один результат параграфа: для того, щоб необхідно і достатньо щоб

.

§6 присвячений “зворотним теоремам” теорії наближення.

Відома пропозиція: хай

.

Тоді, якщо а не ціле, r=[a], b=a-r, то f має нерперывную похідну .

Випадок цілого а розглянутий Зігмундом. В цьому випадку

.

Неважко показати, що ці дві пропозиції еквівалентні наступному: хай 0<a<k і

.

Тоді

.

У роботі [3] С.Н. Бернштейн довів також еквівалентність умов

і .

Ми переносимо ці теореми на умови вигляду

,

де j О N а.

Крім того, в цьому параграфі доведена, наприклад, така пропозиція: хай до - натуральне число і

;

для того, щоб необхідно і достатнє виконання умови

.

В кінці параграфа даються уточнення теорем Валле-Пуссена.

У §7 доводиться основна теорема. Ми даємо тут же оцінку En[f] знизу, якщо

.

Саме, тоді

Випадок a=0 встановлений С.Н. Бернштейном [3].

У §8 ми розглядаємо декілька вирішень завдань з використанням різних модулів безперервності.

 
Перейти к загрузке файла
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>