Главная Математика, химия, физика
Законы векторной алгебры
|
Законы векторной алгебрыОбозначения: ![]() Длина вектора, модуль (абсолютная величина): ![]() ![]() Сумма векторов: ![]() (правило треугольника) (рис. 1.22); ![]() (правило параллелограмма) (рис. 1.23); ![]() (правило многоугольника); ![]() ![]() (правило параллелепипеда, - диагональ). Разность векторов: ![]() Формула вычитания векторов: ![]() (рис. 1.24). Признак коллинеарности векторов: ![]() Законы векторной алгебры Для любых векторов и любых чисел справедливы равенства ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() вектор скалярный ось многоугольник Координатные формулы ![]() ![]() Пусть - взаимно ортогональные единичные векторы, имеющие направления координатных осей; - координаты вектора ; - координаты вектора ; или Тогда: ![]() ![]() ![]() Если - начало вектора, - его конец, то ![]() ![]() Скалярное произведение Скалярное произведение векторов и : ![]() ![]() где - угол между векторами и ; если либо , то ![]() ![]() Из определения скалярного произведения следует, что ![]() ![]() где, например, есть величина проекции вектора на направление вектора . Скалярный квадрат вектора: ![]() Свойства скалярного произведения: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Скалярное произведение в координатах Если то ![]() ![]() Угол между векторами ![]() ![]() Векторное произведение ![]() Векторное произведение векторов и - вектор, обозначаемый или для которого:
![]() Свойства векторного произведения: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() если , то равен площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах и . Векторное произведение в координатах Если , ![]() ![]() ![]() В частности ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Некоторые соотношения ![]() (двойное векторное произведение), (тождество Якоби), ![]() ![]() Смешанное произведение трех векторов Определение: ![]() Свойства смешанного произведения: ![]() ![]() ![]() ![]() - компланарны. ![]() ![]() Если V - объем параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах , и , то если тройка правая, и если тройка левая. ![]() Смешанное произведение в координатах Если то ![]() ![]() Проекции вектора на ось ![]() ![]() Обозначения: - проекции вектора на ось l; - величина проекции вектора на ось l. Свойства проекций: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Составляющие (компоненты) вектора (рис. 1.25): ![]() ![]() ![]() ![]() Координаты вектора : ![]() ![]() ![]() ( - углы, образуемые вектором с положительными направленями осей координат Ox, Oy, Oz прямоугольной декартовой системы координат). , , называются направляющими косинусами вектора ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() где Если - единичный вектор в направлении , то ![]() |