О периодических функциях

Если функция f(x) периодична с периодом Т, то по значениям этой функции на любом отрезке длины Т можно восстановить ее значения на всей числовой прямой.

Действительно, пусть периодическая функция f(x) задана в интервале (а, а + Т), где Т -- период этой функции.

Покажем, как можно определить значения этой функции в интервале (а + Т, а + 2T ).

Для любой точки b из этого интервала можно указать точку b' из интервала (а, а + T ), отстоящую от b на расстоянии T.

В силу периодичности функции f(x)

f(b) = f( b')

Таким образом, по заданным значениям функции f{x) в интервале (а, а +T ) можно восстановить значения этой функции в интервале (а + Т, а + 2T ). Затем исходя из значений функции f{x) в интервале (а + Т, а + 2T ), можно восстановить ее значения в интервале (а + 2T, а + 3T ). После этогo точно так же можно найти значения функции f{x) в интервале (а + 3T, а + 4T) и т. д. Аналогично можно определить значения функции f(x) и во всех точках числовой прямой, лежащих левее отрезка (а, а + Т ).

Итак, задание периодической с периодом Т функции f(x) на любом интервале длины Т дает возможность полностью охарактеризовать ее на всей числовой прямой. Поэтому для исследования функции f(x), периодической с периодом Т, достаточно изучить ее поведение лишь на каком-нибудь интервале длины Т. Например, для исследования функций у = sin ц и у = cos ц достаточно рассмотреть их лишь при 0° < ц < 360°. Для исследования функции у = tg ц можно было бы ограничиться интервалом 0° < ц < 180°. Но при ц = 90° tg ц не определен. Поэтому в данном случае целесообразнее выбрать какой-нибудь другой интервал, в каждой точке которою функция у = tg ц была бы определена. Мы отдадим предпочтение интервалу --90° < ц < 90°. Однако в принципе можно было бы выбрать, конечно, и интервал 0° < ц < 180°. Для изучения функции сtg ц целесообразно выбрать интервал 0° < ц < 180°.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   Загрузить   След >