Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Интегральное и дифференциальное исчисление

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

Сферические координаты

Пусть

где r - радиус-вектор точки М, т.е. r - расстояние от точки М до начала координат:

ц - угол между положительными направлением оси 0X и лучом (- проекция точки М на плоскость X0Y), ;

и - угол между положительным направлением оси 0Z и радиус-

вектором точки М (лучом ОМ),

Тогда модуль якобиана:

В сферических координатах:

Решение:

9(x2 + y2) >= 16z2 - конус

x2 + y2 + z2 <= 25 - сфера

z<=0

находим пересечение поверхностей

z2 = 16(x2 + y2)/9

x2 + y2 +16(x2 + y2)/9 = 25

D: x2 + y2 = 16

переходим к сферической системе координат

ц = (0;2р)

и = (arctg4/3;р/2)

r2cos2цsin2и + r2sin2цsin2и +r2cos2и = 25

с = 5

I=

V =

Ответ: V=

Задание №6

Найти статический момент относительно плоскости XOY однородного тела, ограниченного поверхностями:

x2+y2=z2

x2+y2=2z

Теоретическое введение:

Статический момент относительно координатных плоскостей вычисляется по следующим формулам:

MXOY=

MXOZ=

MYOZ=

В нашем примере нам также понадобится знание о цилиндрической системе координат

Цилиндрические координаты:

Пусть

Здесь - угол между положительным направлением оси 0X и лучом , (- проекция точки М на плоскость X0Y), ; r - радиус-вектор точки,

Тогда интеграл вычисляется по формуле

Решение:

x2+y2=z2 - конус

x2+y2=2z - эллиптический параболоид

Найдем пересечение этих поверхностей: 2z = z2; z = 0, z = 2

D: x2+y2 = 4

Zверх=

Zниз=0,5(x2+y2)

Переходим к цилиндрическим координатам:

тогда

Zверх = r

Zниз = 0,5r2

MXOY==

Ответ:

 
Перейти к загрузке файла
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>