Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Застосування подвійного і потрійного інтегралів

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

Застосування подвійного і потрійного інтегралів

Застосування подвійного інтегралу до задач механіки

Статичні моменти. Центр маси пластини.Нехай матеріальна пластина в площині Оху має форму області D; густина пластини в точці М (х; у) дорівнює = (х,у), де = (х,у) - неперервна функція в області D. Розіб'ємо область D на частини D(i=1,2,...,п) , виберемо в кожній з них довільну точку Ri(x;h)i наближено вважатимемо, що маса , частини Di дорівнює , де - площа області D. Коли вважати, що кожна з цих мас зосереджена в точці R (х; h), то пластину можна розглядати як систему цих матеріальних точок. Якщо складемо їх, то отримаємо масу пластини:

.

Відомо, що статичний момент матеріальної точки відносно деякої вісі дорівнює добутку її маси на відстань до цієї осі. Отже, виконаємо наступне. Домножимо кожну з елементарних мас на відповідну координату, складемо їх і отримаємо статичні моменти пластин:

відносно осі Oy й осі Ox відповідно. Щоб знайти точні значення сформованих інтегральних сум, перейдемо в них до гриниці при

Інтегральні суми перейдуть у відровідні подвійні інтеграли:

(3.1)

(3.2)

Враховуючи формули (3.1) і (3.2), координати центра мас знаходимо за формулами: хс - Му / m ; ус = Мх / m .

Якщо пластина однорідна, то (х,у) = у .

Моменти інерції пластини. Відомо, що момент інерції матеріальної точки відносно деякої осі дорівнює добутку маси точки на квадрат її відстані від цієї осі, а момент інерції системи матеріальних точок відносно однієї і тієї самої осі дорівнює сумі моментів інерції всіх точок системи.Отже, моменти інерції пластини відносно осі Оу й осі Ох наближено визначатимуться за формулами

Перейшовши до границі в кожній із сум при дістанемо точні формули для обчислення моментів інерції розглядуванної пластини відносно координатних осей:

(3.4)

Знайдемо момент інерції I пластини відносно початку координат. Враховуючи, що момент інерції матеріальної точки (x; у) з масою m відносно початку координат дорівнює m (х+ у2), аналогічно одержуємо, що

(3.4)

Приклад. Знайти масу пластини D , обмеженої лініями у = 0, х + у = 2, у = х , якщо густина пластини в кожній точці (х; у) дорівнює (х,у) = у2х (рис.3.1)

Приклад. Знайти центр маси однорідної пластини обмеженої кривою y=cosx, і віссю Ох (рис.3.2).

Рис.3.2 Рис. 3.3

Рис. 3.1 Рис.3.2 Рис. 3.3

Розв'язання. Внаслідок симетрії пластини відносно осі Оу маємо хс =0. Для знаходження ус скористаємось другою з формул (3.2). В даному разі

 
Перейти к загрузке файла
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>