Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Застосування подвійного і потрійного інтегралів

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

Потрійний інтеграл

Обчислення потрійного інтегралу

Нехай область G розташована у тривимірній прямокутній системі координат. Вона обмежена знизу і зверху поверхнями z = (x,y) і z= z(x,y) , а з бічних сторін циліндричною поверхнею, і нехай проекція області G на площину Оху утворює область D (рис. 2.1), в якій визначені й неперервні функції і

Рис. 2.1

Припустимо, що область G правильна у всіх напрямках. Тобто довільна пряма перетинає її межу не більш ніж у двох точках. Наприклад, прямі паралельні осі Oz, тоді має місце формула:

(2.1)

Якщо при цьому область D обмежена лініями: х = а , х = b, і , тоді, при переході від подвійного інтеграла до повторного, отримаємо формулу

(2.2)

Згідно з цією формулою, обчислення потрійного інтегралу зводиться до послідовного інтегрування по кожній із змінних x , у і z окремо, але спочатку за змінною z , потім за змінною у і зовнішній інтеграл за змінною х. Порядок інтегрування може бути і іншим. Це залежить від розташування області G у просторі Oxyz і її форми.

Наприклад, G є прямокутний паралелепіпед з гранями: х = а ,

х = b, у = с , у = d , z = h і z = Н , тоді у формулі (2.2) межі інтегрування будуть сталими:

(2.3)

У цьому випадку інтегрування можна проводити в будь-якому порядку. Якщо область G неправильна, тоді її треба розбити на декілька правильних підобластей. Обчислити інтеграли і результати додати. Розглянемо декілька прикладів. Приклад. Обчислити

,

де G- куб, обмежений площинами: x=0, y=0, z=0, x=1, y=1, z=1.

Розв'язання. За формулою (2.3) маємо:

Приклад. Обчислити

,

де G- піраміда, обмежена площинами:x+y+z=1, x=0, y=0, z=0.

Розв'язання. Тут: і і

Отже за формулою (1.14) маємо:

Приклад. Обчислити

,

де G обмежена площинами:

x=0, y=0, z=4 і параболоїдом

Розв'язання. Зобразимо дану область (рис. 2.2, а) і спроектуємо її на площину yOz. Межі інтегрування:

За формулою (2.2) маємо:

Рис. 2.2

 
Перейти к загрузке файла
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>