Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Застосування подвійного і потрійного інтегралів

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

Заміна змінних у подвійному інтегралі

Нехай функція f(x,у) неперервна в деякій замкненій і обмеженій області D і існує інтеграл: I=. Припустимо, що за допомогою формул

х = x(u, v), у = у(и, v) (1.6)

ми переходимо в інтегралі I до нових змінних u та v. Вважатимемо, що з формул (1.6) однозначно можна визначити u та v:

и = и(х,у), v = v(x,y). (1.7)

Згідно з формулами (1.7), кожній точці М(х;у) D ставиться у відповідність деяка точка M*(u;v) на координатній площині з координатами и і v. Нехай множина всіх точок M*(u;v) утворює обмежену замкнену область D. Формули (1.6) називаються формулами перетворення координат, а формули (1.7) - формулами оберненого перетворення.

Теорема. Якщо перетворення (1.7) переводить замкнену обмежену область D в замкнену обмежену область D і є взаємно однозначним, і якщо функції (1.6) мають в області D неперервні частинні похідні першого порядку і відмінний від нуля визначник:

(1.8)

а функція f(x, у) неперервна в області D, то справедлива така формула заміни змінних:

(1.9)

Функціональний визначник (1.8) називається визначником Якобі або якобіаном.

Таким чином, виконуючи заміну змінних в інтегралі І за формулами (1.6), ми маємо елемент площі dxdy в координатах х, у замінити елементом площі |J(u,v)|dudv в координатах и, v і стару область інтегрування D замінити відповідною їй новою областю .

Подвійний інтеграл у полярних координатах.

Розглянемо заміну декартових координат х, у полярними за відомими формулами:

х =pcos, y = psin.

Обчислимо якобіан:

дх/др = д(pcos)/dp = cos ; дх/ д=д(pcos)/ д = -psin ;

дх/др = д(psin)/dp = sin ; дх/ д=д(psin)/ д = -pcos .

Знайдені частинні і похідні підставимо у визначник:

Отже, формула (4.9) набирає вигляду

(1.10)

Тут область D дана в декартовій системі координат Оху, а відповідна їй область D - у полярній системі координат.

Зауваження 1. У багатьох випадках формулу (1.10) доцільно застосовувати тоді, коли підінтегральна функція або рівняння границі області D містить суму х2 +у2 оскільки ця сума в полярних координатах має досить простий вигляд:

х2 + у2 = 2 cos2 2 sin2

Рис. 1.8

Зауваження 2. Якщо область D (рис. 4.8, а) обмежена променями, які утворюють з полярною віссю кути та (<) і кривими та ( ), то полярні координати області D змінюються в межах

(рис. 4.8, б).

Тому формулу (3.10) можна записати у вигляді

(1.11)

Зауваження 3. Якщо область D охоплює початок координат, тобто точка О (0; 0) є внутрішньою точкою області D, то (4.10) можна записати у вигляді:

(1.12)

де - полярне рівняння межі області D .

Приклад. Обчислити , якщо D - коло радіуса R = 2 з центром у початку координат.

Розв'язання. Оскільки межа області D в полярній системі координат задається рівнянням або , то за формулою (4.12) маємо:

Приклад. Обчислити , якщо область D обмежена колами: х2 +у2 = 2х , х2 + у2 = 4х (рис. 1.11).

Рис. 1.11

Розв'язання. Знайдемо рівняння межі області D в полярних координатах: 2 cos2 +sin2= 2cos , звідси -- 2cos- полярне рівняння малого кола; аналогічно знаходимо, що = 4cos є полярне рівняння великого кола. Кут змінюється у межах від до . Змінна змінюється у межі від 2 cos до 4 cos . Отже, за формулою (1.11) маємо:

Розділ 2.

 
Перейти к загрузке файла
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>