Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Застосування подвійного і потрійного інтегралів

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

Вступ

Кратні інтеграли - розділ математичного аналізу. До поняття кратних інтегралів привели задачі про знаходження об'єму циліндричного тіла, про обчислення маси пластини і т.д. Так кратні інтеграли застосовуються і при вивченні теорії ймовірностей, диференціальних рівнянь та інших наук. Методи обчислення кратних інтегралів дещо схожі на методи обчислення звичайних визначених інтегралів: присутня заміна змінної, перехід до полярних координат.

В даній роботі розглядається поняття подвійного інтеграла, та за його аналогією поняття потрійного інтеграла.

Розділ 1.

Подвійний інтеграл

Поняття подвійного інтегралу

Нехай функція z= f (х, у) визначена в замкненій області D2. Вважатимемо, що межа області D складається із скінченого числа неперервних кривих, кожна з яких визначається функцією виду y = f(x) або y= (x)

Рис. 1.1

Розіб'ємо область D на чистини Di (рис. 1.1), які не мають спільних внутрішніх точок і площі яких дорівнюють , i=1,2 …,n. У кожній області Di візьмемо довільну точку Pi (i , i ) їй на поверхні відповідає точка і утворимо суму

= ; i )Si (1.1)

яку назвемо інтегральною сумою для функції z = f(х, у) по області D. Нехай - найбільший з діаметрів областей Di .

Якщо інтегральна сума (1.1) при має скінченну границю, яка не залежить ні від способу розбиття області D на області Di , ні від вибору точок Pi в них, то ця границя називається подвійним інтегралом і позначається одним з таких символів:

або .

. (1.2)

У цьому випадку функція z=f(x,y) називається інтегрованою; D -областю інтегрування; x, y - змінними інтегрування; dS (або dxdy) - елементом площі.

Достатня умова існування подвійного інтегралу.

Теорема. Якщо функція f(х, у) неперервна в замкненій обмеженій області D) , то вона інтегровна в цій області. Порівнюючи визначення подвійного інтегралу (1.2) і визначення визначеного інтегралу

бачимо що конструктивно ці означення цілком аналогічні: в обох випадках розглядається деяка функція/, але в першому випадку це функція однієї змінної, визначена на одновимірній області - відрізку, а а в другому - це функція двох змінних, визначена у двовимірній області

В обох випадках область визначення розбивають на частини, в кожній з яких беруть довільну точку і в ній знаходять значення функції. Після цього знайдене значення функції множимо на міру відповідної частини області визначення. У випадку однієї змінної такою мірою була довжина відрізка , а у випадку двох змінних площа -області

Наступні кроки знову однакові: утворюють інтегральні суми і знаходять їхні границі, коли міра частин області визначення прямує до нуля.

Властивості подвійного інтегралу:

- сталий множник можна виносити за знак подвійного інтегралу

де С-const;

- подвійний інтеграл від суми двох функцій дорівнює сумі двох подвійних інтегралів від цих функцій

;

- якщо функції f(x,y) i g(x,y) визначенні на одній і тій самі області D і

, то

- якщо область інтегрування функції f(x,y) розбита на області і або на довільне скінченне число областей, які не мають спільних внутрішніх точок, то

 
Перейти к загрузке файла
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>