Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow "Начала" многомерной геометрии

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ

Единичный куб 3ПГК-4

Как видно из чертежей рисунков 2.14, 2.15 и 2.16, единичные кубы трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) можно построить не только при вершинах Aг и Bг вписанного в 3ПГК-4 куба AгBгCгDгEгFгGгHг, но и при остальных шести вершинах этого вписанного куба. Таким способом легко определить все восемь (8) единичных кубов, образующих 3ПГК-4.

Геометрические особенности единичного куба 3ПГК-4

Чтобы понять, как выглядит единичный куб 3ПГК-4, представьте себе трёхмерный куб с длиной ребра «а». Этот куб имеет 4 больших диагонали, равных между собой, длина которых равна . Так вот, теперь одну из этих больших диагоналей уменьшите до величины ребра куба (т.е. до величины «а») так, чтобы три других диагонали, увеличившись при этом по длине, были равны между собой. Вот вы и получили единичный куб 3ПГК-4.

Что-то мне не приходит на ум, как правильно назвать эту фигуру. Ромбогексаэдр? Или просто четырёхгранной призмой? Поправьте, пожалуйста, если я ошиблась.

Определим объём единичного куба BгNCгMKFгO2Aг трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба Vе.к. (см. рис. 2.18).

Рис. 2.18.

Так как по определению единичный куб 3ПГК-4 - это четырёхгранная призма, то её объём определится как произведение площади основания этой призмы на высоту этой призмы. Примем за основание этой призмы грань BгNCгM. Площадь единичной грани 3ПГК-4 (Sе.г.), которой является ромб BгNCгM, равна половине произведения диагоналей этого ромба, т.е.

. (2.8)

Из таблицы 2.3 возьмём значение D через d: и выразим Sе.г. только через d:

(2.9)

Высотой h в этой четырёхгранной призме является отрезок ВгТ, т.е. h = BгT. Из равнобедренного прямоугольного треугольника AгBгFг (где AгBг = BгFг = d и AгFг = D) легко определить, что отрезок BгT = h равен 1/2•AгFг и является собственно половиной диагонали BгEг = D (см. рис. 2.15) в грани (квадрате) AгBгFгEг вписанного в 3ПГК-4 куба. Следовательно,

. (2.10)

Тогда объём четырёхгранной призмы BгNCгMKFгO2Aг, т.е. объём единичного куба 3ПГК-4 (Vе.к.) определится:

. (2.11)

Замечательно, что величина «d3» - это объём вписанного в 3ПГК-4 куба AгBгCгDгEгFгGгHг, ребро которого обозначено через d.

Итак, вычислено, что объём единичного куба 3ПГК-4 (Vе.к.) равен половине объёма вписанного в 3ПГК-4 куба.

Объём всех восьми единичных кубов 3ПГК-4 соответственно определится:

. (2.12)

Определим объём тела трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (V3ПГК-4). Вернёмся к рис. 2.7 и 2.15.

При обсуждении чертежа на рис. 2.7 было доказано, что четырёхугольная пирамида PEгFгGгHг геометрически равна пирамиде O1EгFгGгHг. При этом следует иметь в виду, что пирамида PEгFгGгHг - внешняя по отношению к вписанному в 3ГПК-4 кубу и таких внешних пирамид - шесть, но ведь и сам вписанный в 3ПГК-4 куб состоит из шести внутренних четырёхугольных пирамид. А так как все двенадцать пирамид геометрически равны между собой, то общий объём шести внешних пирамид также равен объёму вписанного в 3ПГК-4 куба, следовательно, объём 3ПГК-4 равен удвоенному объёму вписанного в него куба, т.е.:

. (2.13)

Это самый лёгкий и очевидный способ определения объёма 3ПГК-4. Есть и другие способы.

Объём восьми единичных кубов (4d3) больше объёма самой трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (2d3) ровно в два раза. Почему? Давайте разберёмся, как размещены единичные кубы в теле 3ПГК-4 и между собой.

Чтобы понять, как размещены единичные кубы в теле 3ПГК-4, рассмотрим чертежи на рис. 2.19.

Рис. 2.19.

Из тела 3ПГК-4 (рис. 2.19, а) выделен единичный куб при вершине Bг (BгNCгMKFгO2Aг) (рис. 2.19, б), который, в свою очередь, состоит из трёх геометрически равных между собой четырёхугольных пирамид с общей вершиной O2: O2BгKAгM, O2BгNFгK и O2BгNCгM (рис. 2.19, в, г, д). Основаниями этих пирамид служат находящиеся на поверхности 3ПГК-4 грани (ромбы) выделенного единичного куба. Соблюдаются также следующие равенства боковых рёбер этих пирамид: O2Bг = O2Aг = O2Fг = = O2Cг = a и O2K = O2M = O2N = d. Все эти пирамиды имеют ту же высоту h, что и сам единичный куб, т.е. четырёхугольная призма.

Вычислим объём одной пирамиды Vпир. с помощью формул (2.9) и (2.10):

, (2.14)

что подтверждает, что объём пирамиды в три раза меньше объема единичного куба.

Так как внешних граней в 3ПГК-4, образующих её поверхность
(S3ПГК-4), 12 и каждая из этих 12-ти граней является основанием пирамиды с вершиной в точке O, то суммарный объём всех этих 12-ти пирамид определит объём 3ПГК-4:

. (2.15)

Вот вам второй способ определения объёма 3ПГК-4.

Площадь поверхности 3ПГК-4 определится таким образом:

. (2.16)

Но вернёмся к теме обсуждения.

Выделенный при вершине Bг единичный куб BгNFгKMCгO2Aг каждой третью своей делит (т.е. совмещает) свой объём с тремя единичными кубами, расположенными при вершинах Aг, Fг и Cг :

  • 1) c единичным кубом AгMDгQKBгO2Eг - совмещённый объём в виде пирамиды O2BгKAгM ;
  • 2) с единичным кубом FгNGгPKBгO1Eг - совмещённый объём в виде пирамиды O2BгNFгK ;
  • 3) с единичным кубом CгMBгNLDгO2Gг - совмещённый объём в виде пирамиды O2BгNCгM. Следует заметить, что в вписанном в 3ПГК-4 кубе AгBгCгDгEгFгGгHг вершины Aг, Fг и Cг являются ближайшими к вершине Bг.

Таким образом, доказано, что каждый единичный куб 3ПГК-4 каждой третью своего объёма совмещает своё пространство (объём) с тремя другими близлежащими единичными кубами.

Вот поэтому суммарный объём всех восьми единичных кубов 3ПГК-4 () больше объёма самой 3ПГК-4 () в два раза.

Ещё два свойства единичных кубов 3ПГК-4:

  • 1) каждый единичный куб 3ПГК-4 имеет по одной грани, общей с шестью из семи других единичных кубов. Так, единичный куб BгNCгMKFгO2Aг не имеет общей грани только с единичным кубом HгQEгPLDгO1Gг , при этом заметим, что вершины в этих единичных кубах Bг и Hг , N и Q, Cг и Fг , M и P, K и L, Fг и Dг , Aг и Gг - диаметрально противоположные; и только восьмая пара вершин O1 и O2 в этих единичных кубах является одной совмещённой вершиной, т.е.:
  • 2) все восемь единичных кубов 3ПГК-4 имеют общую вершину, в которой совмещены две вершины - O1 и O2 .

Результаты расчётов основных геометрических параметров 3ПГК-4, выраженные через элементы ромба (единичной грани 3ПГК-4), представлены в таблице 2.4.

Таблица 2.4.

№ п/п

Наименование основных геометрических параметров и элементов ЗПГК-4

Обозначение

Основные геометрические параметры ЗПГК-4, выраженные через элементы ромба (грани):

ребро,

малую диагональ,

Большую

диагональ,

1

Единичное ребро ЗПГК-4

2

Площадь единичной грани ЗПГК-4

3

Обьем единичного куба ЗПГК-4

4

Обьем ЗПГК-4

5

Площадь поверхности ЗПГК-4

Уважаемые профессиональные математики!

Следующими главами работы ««Начала» геометрии многомерных измерений» должны быть о пятимерном гиперкубе, шестимерном, семимерном гиперкубах и т.д., в которых надо определить все особенности их строения и вычислить все геометрические параметры трёхмерных проекций 3ПГК-5, 3ПГК-6, 3ПГК-7 и т.д., - как это было сделано в этой главе относительно 3ПГК-4.

Могу сообщить, что трёхмерная проекция уже шестимерного гиперкуба (3ПГК-6) откроет вам новые особенности строения 3ПГК-n.

Очень хочется, чтобы эта тема исследования кому-то стала интересной и близкой.

Мне очень хотелось бы узнать мнение об этой работе профессиональных математиков. Вы можете написать мне на мой электронный адрес.

 
Перейти к загрузке файла
<<   СОДЕРЖАНИЕ