Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow "Начала" многомерной геометрии

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

Об элементах, составляющихтрёхмерную проекцию четырёхмерного гиперкуба

Математики давно просчитали, что четырёхмерный гиперкуб (ГК-4) состоит из 16-ти вершин, 32-х рёбер, 24-х граней и 8-и кубов. Предложенная мною трёхмерная проекция четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) полностью соответствует этим расчётам (см. рисунки 2.5, 2.6, 2.10). Причём все рёбра, все грани и все кубы абсолютно равны между собой (геометрически, а не физически).

Вершины 3ПГК-4

3ПГК-4 содержит 16 вершин: Aг, Bг, Cг, Dг, Eг, Fг, Gг, Hг, O1, O2, K, L, M, N, P и Q. Координаты по четырём осям (Xг, Yг, Zг и T) всех 16-ти вершин 3ПГК-4 указаны в таблице 2.2. 14 вершин расположены на поверхности 3ПГК-4, а две вершины (О1 и О2) совмещены в центре 3ПГК-4.

Совмещённые две вершины О1 и О2 , я думаю, говорят нам о том, что (образно) наш трёхмерный куб в четырёхмерном пространстве под воздействием присущей этому пространству дополнительной, ещё неведомой нам энергии не просто перемещается, а ещё и вращается, вращается вокруг вершины (как, примерно, Земля, вращаясь вокруг своей оси, движется по орбите).

Говоря здесь о вершинах О1 и О2 , совмещённых в одну точку О, будем иметь в виду, что все ниже перечисленные свойства вершин присущи индивидуально и вершинам О1 и О2 , но совместившись в точке О, эти свойства количественно складываются.

Итак, каждая вершина 3ПГК-4 обладает следующими свойствами:

  • 1) в каждой вершине 3ПГК-4 сходятся по четыре ребра. При этом: в вершинах K, L, M, N, P и Q сходятся 4 внешних ребра (например, в вершине K сходятся рёбра KAг, KBг, KFг и KEг); в вершинах Aг, Bг, Cг, Dг, Eг, Fг, Gг и Hг сходятся по три внешних ребра и одно внутреннее ребро (например, в вершине Аг сходятся рёбра AгK, AгM, AгQ и AгO); в вершинах О1 и О2 сходятся по 4 внутренних ребра, всего в точке О сходятся восемь внутренних рёбер;
  • 2) в каждой вершине 3ПГК-4 сходятся по шесть граней, т.е. каждая вершина является общей вершиной для шести граней, например: а) в вершине Р сходятся грани PEгKFг, PFгNGг, PGгLHг, PHгQEг, PEгO1Gг и PFгO1Hг; б) в вершине Eг сходятся грани EгQAгK, EгKFгP, EгPHгQ , EгQDгO2, EгO1GгP и EгKBгO2 ; в) в вершине O (O1 и O2) сходятся все 12 внутренних граней: AгOFгK, AгOHгQ , AгOCгM, BгOEгK, BгODгM, BгOGгN, CгOHгL, CгOAгM, CгOFгN, DгOGгL, DгOEгQ и DгOBгM ;
  • 3) в каждой вершине 3ПГК-4 сходятся по 4 куба. Например:
    • а) в вершине P сходятся 4 куба: PHгQEгFгO1AгK, PEгKFгGгO1BгN, PFгNGгEгKBгO1 и PGгLHгEгO1DгQ;
    • б) в вершине Aг сходятся 4 куба: AгKEгQO2FгPHг, AгMBгKO2CгNFг, AгQDгMKEгO2Bг и AгQDгMO2HгLCг; в) как видим, центр O, т.е. точка совмещённых вершин O1 и O2 , является общей вершиной для всех восьми кубов 3ПГК-4.

Рёбра 3ПГК-4

Ко всему, что сказано выше о рёбрах 3ПГК-4, можно добавить, что рёбра 3ПГК-4 обладают ещё и следующими свойствами:

  • 1) каждое ребро 3ПГК-4 принадлежит трём граням. Например:
    • а) ребро PEг принадлежит граням PEгQHг, PEгKFг и PEгO1Gг ;
    • б) ребро AгK принадлежит граням AгKBгM, AгKFгQ и AгKFгO2 ;
    • в) ребро O2Аг принадлежит граням O2AгQHг, O2AгMCг и O2AгKFг;
  • 2) каждое ребро 3ПГК-4 принадлежит трём кубам. Например:
    • а) ребро PEг принадлежит кубам PEгQHгGгO1DгL, PEгKFгHгQAгO1 и PEгO1GгFгKBгN ;
    • б) ребро AгK принадлежит кубам AгKBгMQEгO2Dг , AгKEгQO1FгPHг и AгKFгO2MBгNCг ;
    • в) ребро O2Aг принадлежит кубам O1AгQHгFгKEгP , O2AгMCгHгQDгL и O2AгKFгCгMBгN.

Единичная грань 3ПГК-4

Гранью трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) является ромб (см. рис. 2.15, 2.17).

Определимся с размерностью геометрических параметров ромба PEгKFг. Здесь нам очень помогут геометрические параметры вписанного в 3ПГК-4 куба AгBгCгDгEгFгGгHг. Примем, что длина ребра ромба PEгKFг , а следовательно, и самой трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) равна величине «а»; длину малой диагонали EгFг ромба обозначим через «d», а длину большой диагонали PK ромба обозначим через «D».

, 2.15, 2.16 и 2.17

Рисунки 2.14, 2.15, 2.16 и 2.17.

Из чертежа рис. 2.15 нетрудно заметить, что длина ребра «а» 3ПГК-4, а следовательно, и ромба, равна половине большой диагонали вписанного в 3ПГК-4 куба AгBгCгDгEгFгGгHг ; малой диагональю (EгFг) ромба является ребро этого вписанного куба, а большой диагональю ромба (PK = D) является диагональ боковой грани (квадрата) этого вписанного куба.

Из вышесказанного, пользуясь теоремой Пифагора, можно написать: , т.е.

. (2.5)

Результаты простых расчётов взаимосоотношений главных определяющих параметров ромба (грани 3ПГК-4) a, d и D приведены в таблице 2.3.

Таблица 2.3.

a большой диагоналивписанного куба

dребро вписанного куба

D малая диагональ вписанного куба

a

Ребро ЗПГК-4,

ребро ромба

d

Малая диагональ ромба

D

Большая диагональ ромба

Результаты расчётов, приведённые в таблице 2.3, потребуются для вычисления других геометрических параметров 3ПГК-4.

Гранью трёхмерной проекции гиперкуба любого n-мерного измерения (3ПГК-4, 3ПГК-5, 3ПГК-6, …, 3ПГК-n) является ромб и только ромб. Очень важной геометрической характеристикой ромба является соотношение его большой и малой диагоналей (D/d). В многомерной геометрии это соотношение для каждого измерения строго определённо и неизменно. Так, в квадрате (символ второго измерения) соотношение его диагоналей равно единице (1); грань трёхмерного куба также сохраняет это соотношение (1), т.к. его гранью является квадрат. Невозможно хотя бы слегка изменить соотношение диагоналей в квадрате - иначе квадрат теряет своё звание.

В 3ПГК-4 отношение большей диагонали ромба (грани) к меньшей определится:

(2.6)

Ко всему, что сказано о единичных гранях (ромбах) 3ПГК-4 в этой главе, надо добавить, что каждая единичная грань 3ПГК-4 принадлежит одновременно двум кубам. Например: 1) грань PHгQEг принадлежит кубу PHгQEгGгLDгO1 и кубу PHгQEгFгO1AгK ; 2) грань PEгKFг принадлежит кубу PEгKFгHгQAгO1 и кубу PEгKFгGгO1BгN.

 
Перейти к загрузке файла
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>