Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow "Начала" многомерной геометрии

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

Геометрические особенности трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4)

Давайте осмыслим геометрические особенности трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4), построенного с помощью трёхмерной проекции системы осей координат для четырёхмерного измерения.

На рис. 2.6 представлен чертёж 3ПГК-4, начерченный только по вершинам 3ПГК-4, без осей координат и вспомогательных линий; для удобства масштаб чертежа уменьшен в два раза.

Обратите внимание: через вершины трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) вписывается куб AгBгCгDгEгFгGгHг . Это очень важный факт для осмысления 3ПГК-4. Рисунок 2.7 даёт очень наглядное представление о расположении вершин, рёбер, граней 3ПГК-4. Смотрите: восемь внутренних рёбер 3ПГК-4 (AгO, BгO, CгO, DгO, EгO, FгO, GгO и HгO) расположены на больших диагоналях вписанного в 3ПГК-4 куба, а четыре ребра 3ПГК-4 (EгP, FгP, GгP и HгP) образуют четырёхугольную пирамиду PEгFгGгHг с основанием квадрата EгFгGгHг , который является одной из шести граней вписанного в 3ПГК-4 куба. Причём, (что очень важно!) рёбра этой пирамиды параллельны большим диагоналям вписанного в 3ПГК-4 куба, т.е. PEг || GгAг, PFг || HгBг, PGг || EгCг и PHг || FгDг , при этом PEг = GгO, PFг = HгO, PGг = EгO и PHг = FгO (разумеется, в точке О совмещены две вершины О1 и О2). А из этого следует, что пирамида PEгFгGгHг геометрически равна пирамиде OEгFгGгHг .

Вершина Р является общей для шести граней-ромбов, равных между собой, причём четыре ромба (PEгKFг , PFгNGг , PGгLHг и PHгQEг) являются внешними гранями 3ПГК-4, а два ромба (PEгOGг и PFгOHг) являются внутренними гранями.

Рис. 2.6.

Рис. 2.7.

В рисунке 1.1 показано, что 3ПГК-4 пересекают пять параллельных между собой плоскостей, равноотстоящих друг от друга. Так вот, по рисункам 2.6 и 2.7 расположение этих пяти плоскостей определится следующим образом: вторая плоскость (РII) проходит через вершины EГ , FГ , GГ и HГ ; четвёртая плоскость (РI V) проходит через вершины AГ , BГ, CГ и DГ ; третья плоскость (РШ) проходит через вершины Q, K, O1, O2, N и L ; а первая (PI) и пятая (РV) плоскости проходят через вершины P и M соответственно.

Итак, на примере только одной пирамиды PEгFгGгHг определены некоторые очень важные свойства трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4). Но если учесть, что остальные пять пирамид, построенные на других пяти гранях вписанного куба, геометрически равны пирамиде PEгFгGгHг , то, осмыслив безупречную симметрию и гармонию 3ПГК-4, можно только изумляться совершенству трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба.

Совершенство трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) подтверждается и тем, что через вершины 3ПГК-4 можно построить не только вписанный куб AгBгCгDгEгFгGгHг , но и описанный куб A'B'C'D'E'F'G'H' - через вершины P, Q, K, N, L и M (см. рис. 2.8). А через вершины нашего вписанного куба, как известно математикам, легко вписывается ещё одно «тело Платона» - тетраэдр. Кроме того, через шесть вершин 3ПГК-4 (P, Q, K, N, L и M) вписывается и ещё одно «тело Платона» - октаэдр (см. рис. 2.9). Рёбрами этого октаэдра являются 12 больших диагоналей ромбов - всех 12-ти внешних граней 3ПГК-4. А так как поверхность трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба состоит из 12-ти ромбов, то эта геометрическая фигура называется ещё ромбододекаэдром (см. рис. 2.8).

Предлагаю вашему вниманию рисунки 2.10, 2.11, 2.12 и 2.13. Это одна и та же геометрическая фигура - трёхмерная проекция четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4). В этих чертежах нет искажений, я старалась выполнить их точно. Вершины, обведённые кружками, - это совмещённые вершины. Не правда ли, как легко можно начертить 3ПГК-4 (рис. 2.12, рис. 2.13) ?!

Рис. 2.8.

Рис. 2.9.

, 2.11, 2.12 и 2.13

Рисунки 2.10, 2.11, 2.12 и 2.13.

Трёхмерная проекция четырёхмерного гиперкуба имеет 13 осей симметрии: семь осей симметрии проходят через 14 противоположных вершин, расположенных на поверхности 3ПГК-4 (PM, QN, LK, EгCг, FгDг, GгAг и HгBг), и шесть осей симметрии проходят через центры двенадцати противолежащих ромбов (граней), образующих поверхность 3ПГК-4.

Трёхмерная проекция четырёхмерного гиперкуба имеет 9 плоскостей симметрии: PGгCгMAгEг , PFгBгMDгHг , NCгDгQEгFг, NBгAгQHгGг, KAгDгLGгFг , KEгHгLCгBг , PNMQ, PKML и KNLQ.

Трёхмерная проекция четырёхмерного гиперкуба имеет три сферы с центром О1О2: большая сфера описывает вершины P, N, K, Q, L и M, средняя сфера описывает вершины Aг, Bг, Cг, Dг, Eг, Fг, Gг и Hг , а меньшая сфера вписывается через центры всех двенадцати граней (ромбов), образующих поверхность 3ПГК-4.

 
Перейти к загрузке файла
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>