Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow "Начала" многомерной геометрии

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

Трёхмерная проекция четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4)

В работе «Постигая четырёхмерное измерение, мы приходим к геометрии n-мерных пространств» [3] я определила метод построения (черчения) трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) с помощью трёхмерной проекции осей координат для четырёхмерного измерения.

Метод определения трёхмерной проекции осей координат для четырёхмерного измерения

Идея принять большие диагонали куба за трёхмерную проекцию осей координат для четырёхмерного измерения возникла у меня в голове почти моментально. Для проверки этой идеи исследуем куб (рисунки 2.1 и 2.2), посмотрим, что он выдаст.

На рис. 2.1 изображён куб ABCDEFGH, примем длину ребра куба равной величине а. Через геометрический центр О куба и геометрические центры (1, 2, 3, 4, 5, 6) каждой из шести граней куба проведём оси +X -X, +Y-Y и +Z-Z, то есть получим Декартову систему координат, которой пользуются более 350 лет. Проведём четыре большие диагонали куба.

Исследуем все вершины куба на предмет их знакового значения (+ или -) относительно Декартовой системы координат. Результаты этого исследования сведены в таблицу 2.1.

Таблица 2.1.

A

B

C

D

E

F

G

H

X

-

+

+

-

-

+

+

-

Y

-

-

-

-

+

+

+

+

Z

+

+

-

-

+

+

-

-

Проведём анализ знаковых значений вершин куба.

Сразу видно, что только две вершины D и F, являющиеся крайними точками большой диагонали куба FD, имеют все три одинаковых знака: вершина F (+X, +Y, +Z) и вершина D (-X, -Y, -Z).

А из этого следует, что куб сам указал на четвёртую ось в новой для нас трёхмерной проекции системы осей координат для четырёхмерного измерения, причём указал и её знаковое направление.

Предлагаю обозначить эту ось буквой «T» - от греческого слова «tetra», означающего «четыре».

Итак, в новой для нас трёхмерной проекции системы осей координат для четырёхмерного измерения определена главная ось, проходящая через вершины куба F и D, причём направление оси от центра О в сторону вершины F является положительным направлением (+T), а направление оси от центра О в сторону вершины D является отрицательным направлением (-T).

Для того, чтобы определить, как, в каком направлении расположатся три остальные оси в трёхмерной проекции системы осей координат для четырёхмерного измерения Xг, Yг и Zг (индекс «г» - от слова «гиперкуб»), проведём знаковый анализ остальных шести вершин A, B, C, E, G и H куба, пользуясь таблицей 2.1 и рисунком 2.2.

, Рис. 2.2

Рис. 2.1, Рис. 2.2.

1. Положительное значение икса (+X) из оставшихся шести вершин A, B, C, E, G и H куба содержат вершины B, C и G, значит, это и является областью положительного икса, и ось +Xг проходит через среднюю между B, C и G вершину куба C.

Отрицательное значение икса (-X) из оставшихся шести вершин куба содержат вершины A, E и H, значит, это и является областью отрицательного икса, и ось -Xг проходит через среднюю между A, E и H вершину куба E.

2. Положительное значение игрека (+Y) из оставшихся шести вершин куба содержат вершины E, H и G, значит, это и является областью положительного игрека, и ось +Yг проходит через среднюю между E, H и G вершину H.

Отрицательное значение игрека (-Y) из оставшихся шести вершин куба содержат вершины A, B и C, значит, это и является областью отрицательного игрека, и ось -Yг проходит через среднюю между A, B и C вершину B.

3. Положительное значение зет (+Z) из оставшихся шести вершин куба содержат вершины E, A и B, значит, это и является областью положительного зет, и ось +Zг проходит через среднюю между E, A и B вершину A.

Отрицательное значение зет (-Z) из оставшихся шести вершин куба содержат вершины C, G и H, значит, это и является областью отрицательного зет, и ось -Zг проходит через среднюю между C, G и H вершину G.

Итак, определены все четыре оси трёхмерной проекции системы осей координат для четырёхмерного измерения: ось +T-T проходит через вершины куба F и D соответственно, ось +Xг-Xг проходит через вершины C и E, ось +Yг-Yг проходит через вершины H и B, ось +Zг-Zг проходит через вершины A и G.

Это великолепный подарок куба!

Теперь, чтобы определить углы между осями трёхмерной проекции системы осей координат для четырёхмерного измерения, обратимся к рисунку 2.2, где изображена плоскость ABGH, которая является плоскостью симметрии куба, в этой плоскости лежат две оси +Zг-Zг и +Yг-Yг трёхмерной проекции системы осей координат для четырёхмерного измерения.

1. Из треугольника AОB определим угол AОB по теореме косинусов:

. (2.1)

При принятой величине согласно теореме Пифагора:

и ; .

Подставив в уравнение (2.1) значения AB, и ОB, получим:

, а . (2.2)

2. Определим угол AОH, то есть угол, заключённый между осями +ZгО+Yг или -YгО-Zг:

. (2.3)

Таким образом, определены и углы между осями трёхмерной проекции системы осей координат для четырёхмерного измерения.

Замечательно то, что центр О является общей точкой для обеих систем координат, что очень удобно при переходе из одной системы координат в другую.

Четырёхмерное пространство имеет свои особенности и законы. В четырёхмерном пространстве меняются размерности всех единиц измерения, которыми мы пользуемся в нашем трёхмерном мире. Но, пользуясь логикой и рассуждениями по аналогии, можно проследить, выявить и вычислить эти изменения в размерностях.

Наш трёхмерный куб, такой всем близкий и знакомый, дарит нам ещё одну свою тайну - единицу длины ребра в четырёхмерном пространстве! Посмотрите на рис. 2.1: точками 1, 2, 3, 4, 5 и 6 обозначены геометрические центры каждой грани куба. Через эти точки проходят оси Декартовой системы координат, и при принятой величине длины ребра куба, равной «а», расстояние от центра О до всех точек 1, 2, 3, 4, 5 и 6 равно .

Большие диагонали куба AG, BH, CE и DF, являющиеся образующими оси трёхмерной проекции системы координат для четырёхмерного измерения, равны и, соответственно, половина длины этих диагоналей, то есть расстояние от центра О до всех точек (вершин куба) A, B, C, D, E, F, G и H, равно .

Мне кажется, что теперь не трудно догадаться, что отрезок OZ, например, расположенный на оси OX в Декартовой системе координат и равный величине , перемещаясь из трёхмерного пространства в четырёхмерное, превратится в отрезок OC, расположенный на оси O+Xг (или в отрезок OE (?), расположенный на оси O-X-г), и теперь длина его определится величиной .

Это говорит о том, что наш трёхмерный куб с длиной ребра «, перемещаясь в четырёхмерное пространство, превратится в четырёхмерный гиперкуб с длиной ребра «aг», при этом:

. (2.4)

 
Перейти к загрузке файла
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>